Torus (matematyka)
Torus – dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w tej samej płaszczyźnie i nieprzecinającej go (czyli niemającej z nim wspólnych punktów). Często oznacza się go symbolem <math>\mathrm{T}^2</math> lub <math>\mathbb{T}^2</math>.
Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.
Parametryzacje
Jeśli okrąg z definicji ma promień <math>r\;</math>, oś obrotu pokrywa się z osią <math>OZ</math> układu współrzędnych kartezjańskich, a jej odległość od środka torusa wynosi <math>R\;</math>, to równanie torusa przyjmuje postać:- <math>(\sqrt{x^2 + y^2} - R)^2 + z^2 = r^2.</math>
- <math>S = 4 \pi^2rR,\;</math>
- <math>V = 2\pi^2Rr^2.\;</math>
Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.
Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie <math>xz\;</math> o środku w punkcie <math>\left(R,\ 0,\ 0\right)</math> i promieniu <math>r,\,</math> gdzie<math>R>r>0\;</math>. Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:- <math>f(\alpha) = (R+r\cos \alpha,\ 0,\ r\sin \alpha).</math>
- <math>U_{\beta}=\begin{bmatrix} \cos \beta & - \sin \beta & 0\\ \sin \beta & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.</math>
- <math>p\left(\alpha,\ \beta\right) = U_{\beta}\cdot f^{T}(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \beta & - \sin \beta & 0\\ \sin \beta & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} R+r\cos \alpha\\ 0\\ r\sin \alpha\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left(R+r\cos \alpha\right)\cos \beta\\ \left(R+r\cos \alpha\right)\sin \beta\\ r\sin \alpha\end{bmatrix}.</math>
- <math>p(\alpha,\ \beta)=\Big((R+r\cos \alpha)\cos \beta,\ (R+r\cos \alpha)\sin \beta,\ r\sin \alpha\Big).</math>
Krzywizna Gaussa
Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym <math>p(\alpha,\ \beta) = \Big(g(\alpha),\ h(\alpha)\cos \beta, h(\alpha)\sin \beta \Big)</math> w punkcie <math>P = p(\alpha,\ \beta)</math> można wyznaczyć ze wzoru:- <math>K_{P}={g^\prime\left(g^{\prime\prime}h^\prime-h^{\prime\prime}g^\prime\right)\over h\left(g^{\prime 2}+h^{\prime 2}\right)^2}.</math>
- <math>h(\alpha) = R+r\cos \alpha, \qquad g(\alpha) = r\sin \alpha.</math>
- <math>h^\prime(\alpha) = -r\sin \alpha, \qquad g^\prime(\alpha) = r\cos \alpha;</math>
- <math>h^{\prime\prime}(\alpha) = -r\cos \alpha, \qquad g^{\prime\prime}(\alpha) = -r\sin \alpha.</math>
- <math>K_{P}={\cos \alpha \over r(R+r\cos \alpha)}.</math>
- dla <math>-\tfrac{\pi}{2}<\alpha<\tfrac{\pi}{2}</math> mamy <math>\cos \alpha>0,\;</math> czyli <math>K_{P}>0\;</math> na zewnętrznej stronie torusa;
- dla <math>\alpha=-\tfrac{\pi}{2},\; \alpha=\tfrac{\pi}{2}</math> mamy <math>\cos \alpha=0,\;</math> czyli <math>K_{P}=0\;</math> na górze i dole torusa;
- dla <math>\tfrac{\pi}{2}<\alpha<\tfrac{3\pi}{2}</math> mamy <math>\cos \alpha<0,\;</math> czyli <math>K_{P}<0\;</math> po wewnętrznej stronie torusa;
- gdy <math>\alpha=0,\;</math> wówczas <math>K_{P}\;</math> przyjmuje maksimum, tj. <math>K(0)=\tfrac{1}{r(R+r)}</math> na największym okręgu (równoleżniku);
- gdy <math>\alpha=\pi,\;</math> wówczas <math>K_{P}\;</math> przyjmuje minimum, tj. <math>K(\pi)=\tfrac{1}{r(R-r)}</math> na najmniejszym okręgu (równoleżniku).
Uogólnienie
Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową <math>\mathbb{R}^2 / \sim\;</math>, gdzie <math>\sim\;</math> jest relacją równoważności określoną następująco:- <math>(x, y) \sim (x', y') \Leftrightarrow x - x' \in \mathbb{Z}, y - y' \in \mathbb{Z}</math>.
Wynika stąd istnienie odwzorowania <math>p: \mathbb{R}^2 \rightarrow T^2</math>, <math>f(x, y) = [(x, y)]_{\sim}\;</math>, które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji <math>\sim\;</math> i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.
Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.
Zobacz też
Linki zewnętrzne
- Torus w encyklopedii MathWorld